複變函數積分與留數理論

📝 歷屆考古題

• 112年 高等考試 第11題
  請利用柯西—里曼方程式（Cauchy-Riemann Equation）驗證下列何者非可解析函數（non-analytic function）？（其中 $Z$ 為複數）
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• 112年 高等考試 第13題
  定義 $i = \sqrt{-1}$，求 $(1+i)^{12}$ 的運算結果為何？
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• 111年 高等考試 第9題
  定義 $i = \sqrt{-1}$，若 $z = a + bi$ 為 $z^2 - (6 - 2i)z + 17 - 6i = 0$ 之一解，且 $ab > 0$，則 $a^2 + b^2 = ?$
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• 111年 高等考試 第10題
  定義 $i = \sqrt{-1}$，複變數 $z = x + iy$ 與其共軛複數 $\bar{z} = x - iy$。下列那一個複變函數為完整（entire），即在整個複數平面皆為可解析（ana…
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• 111年 高等考試 第11題
  複變級數 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z - i)^n}{n^n}$ 之收斂半徑（radius of convergence）為何？ ($i = \sqrt{-1}$)
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• 111年 高等考試 第12題
  計算 $\int_{\gamma} \bar{z} dz = ？$其中軌跡 $\gamma(t) = e^{it}, 0 \leq t \leq \pi$。($i = \sqrt{-1}$)
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• 110年 高等考試 第8題
  有一條三維空間中的曲線，曲線上的點的坐標 (x,y,z) 以參數式來表示為：$x(t)=2\sin(t), y(t)=2\cos(t), z(t)=5t$。請問此曲線在 (0,2,0) 到 $(\sqrt{3}, 1, 5\frac{\pi}{3})$…
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• 110年 高等考試 第9題
  如果 $3e^{i\pi/3} + 5e^{-i\pi/4} + 2e^{i\pi} = x + iy$ ， $i = \sqrt{-1}$，那麼下列有關於 x、y 之敘述，何者正確？
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• 110年 高等考試 第10題
  令 $i$ 為單位虛數，則 $\sin(\pi + i)$ 的實部（real part）為何？
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• 110年 高等考試 第11題
  若積分路徑 C 為逆時鐘方向且滿足 $|z| = 1$，則複變函數積分 $\oint_C \frac{4z^2+z+2}{z(4z^2-17z+4)} dz$ 之值為何？
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• 110年 高等考試 第12題
  我們考慮複變函數 $f(z) = z^2 + 1$ ($z=x+iy$) 沿著曲線 $\Gamma$ 作線積分（line integral），其中 $\Gamma$ 代表在複數平面上由 $y = x^2$…
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• 109年 高等考試 第4題
  求 $\int_{(1,1)}^{(2,4)} 2xy dx + x^2 dy = ?$
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• 109年 高等考試 第14題
  求複變函數積分 $\oint_C \left( \frac{\cosh z}{(z-\pi i)^3} - \frac{\sin^2 z}{(2z-\pi i)^3} \right) dz$，其中積分…
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• 109年 高等考試 第15題
  求複變函數積分 $\oint_C \frac{z}{(z+1)(z^2+1)} dz$，其中積分路徑 $C$ 為逆時鐘方向繞橢圓周 $16x^2 + y^2 = 4$。
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• 109年 高等考試 第16題
  複變函數 $f(z) = z^{24} - 3z^{20} + 4z^{12} - 5z^6$，求 $f\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right) = ?$
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• 109年 高等考試 第17題
  $z$ 為一複數，若 $\Gamma$ 是平面中一個包含原點 $z=0$ 之封閉路徑，$\oint_{\Gamma} \frac{\cos(z)}{z} dz = ?$
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• 109年 高等考試 第18題
  曲線 $C$ 為平面上一個正向簡單封閉路徑，則 $\oint_C x \cos(2y) dx - x^2 \sin(2y) dy = ?$
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• 109年 高等考試 第19題
  令一曲線 $C$ 為 $x=t^2, y=-t, z=t^2, 0 \le t \le 1$，則 $\int_C x^2 dx - yz dy + e^z dz = ?$
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• 108年 高等考試 第7題
  7. 給定一複數函數為 $f(z) = r^{1/3} \cos \frac{\theta + 2\pi}{3} + i r^{1/3} \sin \frac{\theta + 2\pi}{3}$，其…
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• 108年 高等考試 第8題
  8. 曲線 $C: y = x^2$，從 $(0,0)$ 到 $(2,4)$，求 $\int_C z^2 dz = ?$
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• 108年 高等考試 第9題
  9. 求複變級數 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^n}{n!} (z + i)^n$ 之中心點（center）及收斂半徑（radius of convergence）：
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• 107年 高等考試 第7題
  將 $e^{5+2i}$ 化簡為 $a+bi$ 形式的敘述（$a, b$ 為常數），則化簡後結果為：
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• 107年 高等考試 第8題
  假設路徑 $C$ 為一逆時針方向的單位圓 $|z| = 1$，求 $\int_C \frac{\sinh z}{z^2} dz$ 之值為何？
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• 107年 高等考試 第14題
  複變函數 $f(x+iy) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在 $x+iy$ 為可微分，則下列何條件必須滿足？
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• 106年 高等考試 第7題
  $i = \sqrt{-1}$，展開複數函數 $f(z) = \cosh(5 - 2i)$ 為：
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• 106年 高等考試 第8題
  $i = \sqrt{-1}$，$i^{1+i} = ?$
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• 106年 高等考試 第9題
  假設 $C$ 為 $|Z| = 3$ 之逆時針方向的圓周，求 $\oint_C \frac{e^{3Z}}{Z^4} dZ = ?$ ($i = \sqrt{-1}$)
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• 106年 高等考試 第14題
  $z$ 為複數（Complex variable），則 $\int_{0}^{1+i} z^2 dz = ?$ ($i = \sqrt{-1}$)
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• 106年 高等考試 第15題
  試求冪級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x-1)^n}{2^n(3n-1)}$ 之收斂半徑。
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• 105年 高等考試 第3題
  設 $C$ 為一位在 $y = 2$平面上以點$(1, 2, 1)$為中心，半徑為 4 的圓。則其曲率（curvature）為何？
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• 105年 高等考試 第4題
  求 $\int_C xy dx - y\sin(x) dy$ 之值，其中 $C$ 為 $x(t) = t^2$, $y(t) = t$, $-1 \le t \le 4$：
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• 105年 高等考試 第9題
  求 $z\cos(\frac{1}{z})$ 在 $z = 0$ 之留數（residue）之值為何？
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• 105年 高等考試 第10題
  令 $f_1(z)$ 為一複數冪級數（complex power series）且其收斂半徑 $R_1 \neq 0$，已知 $f_2(z)$、$f_3(z)$、$f_4(z)$ 分別為 $f_1(z)$…
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• 105年 高等考試 第11題
  假設 $C$ 為沿著逆時針方向繞圓周 $|z| = 2$，試求積分 $\int_C e^{\frac{1}{z}} dz$ 為何？
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